Рачун и говор, бројеви и појмови

Аутор: Томислав Новаковић

 

(Избор з Атомике) [1]

 

Принцип континуитета каже да се по бесконачној дељивости између било која два природна броја може уметнути бесконачан низ бројева.

Ипак, да ли је тај бесконачног низ бројева континуитет, или увек дисконтинуитет, због чега се, заправо, и могу увек уметати између било која два броја нови бесконачни низови бројева?

Ако се и у било којем коначном као и у хипотетичком бесконачном дисконтинуитету (бројном низу), по бесконачној деоби између било која два броја могу уметнутог бесконачни низови бројева), и поред тога и у бесконачном и коначном дисконтинуитету  по сваком броју претпоставља  коначност, каква је онда, уопште, разлика коначног и бесконачног?

По геометријском континуитету, пак, између било која два коначна броја (дужине, површине) опет се  бесконачном дељивошћу може убацити бесконачан низ нових бројева (бесконачно коначних дужина, површина) – бесконачни дисконтинуитет. И тако сваки коначни континуитет бесконачном дељивошћу претварати у бесконачни дисконтинуитет. Подједнако бесконачни континуитет у бесконачни дисконтинуитет као и коначни континуитет у бесконачни дисконтинуитет.

Ако се сваки покушај превођења бесконачног дисконтинуитета у бесконачни континуитет (аритметичког у геометријско) опет завршава у дисконтинуитету, да ли је могућа неки прелаз између аритметичког дисконтинуитета и геометријског континуитета? Као, на пример, у инфинитезималном рачуну кроз хипотетичко бесконачно велико и хипотетичко бесконачно мало?

Опет, ми видимо ствари као једне и исте у континуитету, и као и раздвојене и различите у дисконтинуитету. На пример, 2 и 3 су за Канта  само појмови. Он чистим опажајем времена, тачније његовом трансценденталном одредбом следа утемељује само бројање, а једнакост јединица и сабирање праосновним идентитетом Ја=Ја, за синтезу категорије квантитета са априорном одредбом следа из чистог самоопажаја времена.

То јест, ми све сличне и различите конкретне ствари можемо ставити у скупове, врсте, родове, класе. Ипак, колико год чистим релацијама, односима међу стварима претпостављамо да су те ствари исте, као истом јединицом погодне за рачун, оне се у реалности увек разликују.

На пример, ми питамо колико има јабука на дрвету, или људи у једном граду, па кажемо: толико и толико. Иако ми знамо да ни те јабуке, ни људи у том месту... нису исте као природни бројеви, очигледно да их сабирамо као исте по истом појму (јабуке, човека..,) а не као  конкретне јединице потпуно истих јабука или људи.

Ми подразумевамо да су различите ствари, бића, чланови у једном скупу исти тек са унапред датим значењем истог појма. Морамо претходно дати дефиницију јабуке или човека, или било којег члана конкретног скупа (рода, врсте) да би по основи тих суштински истих одредби вршили сабирање истих чланова тог скупа.

Подједнако се може рећи да ми ту рачунамо са појмовима, као и са реалним стварима. Ту заједничку одредбу (или одредбе) по унапред дефинисаном појму, замишљамо као јединицу да би математичком скупу природних бројева вршили сабирање, одузимање, или било какав други рачун.

Ми остављамо потпуно по страни сваку разлику међу конкретним члановима скупа, и по општем, заједничком појму посматрамо једино квантитет, број, свеједно, различитих, или  по појму (роду, врсти) истих квалитета: јабука, људи... као чланова тог сродног појма. Дакле, да би се сабирали они не морају бити потпуно исти, него само исти по припадности (заједничком) истом појму.

За Питагорејце су бројеви бића по себи. За Платона постоји посебна регија математичких бића између идеја и телесне стварности.

Опет, за неке друге (на пример Аристотела), 2 и 3 је  су по категорији  квантитета  само појмови два и три конкретног нечега. Бројеви могу бити само апстракције конкретних квалитета.

Очигледно да није довољно рећи да је број само број нечега, већ треба објаснити не само  саме бројеве него  и саме операције. Чак пре свих операција, најпростији чин бројања.

Свакако да саме операције нису бројеви, али спадају у рачун. Опет,  додавање, одузимање, умножење, деоба, могу обухватати и свако квалитативно спајање, сабирање у појмовима, речима; уопште, састављање, прожимање, укрштање свих квалитативно различитих родова, врста, елемената разноврсних ствари, бића. Ти чисти квантитативни односи, мере постоје у свим могућим стварним, живим квалитативним релацијама  сразмерама унутар самих неживих и живих бића као физички, хемијски, билошки, органски рачун “на делу.“ 

Тешко се сами  бројеви без операција, као неки појмови сами по себи, могу схватати без праоснове једног и мноштва и операције бројања.

И када се тврди да се са бројањем првенствено мисли о скупу природних бројева, опет је сваки такав број прво одређен појмом;  схватљив тек по старијем логичком, појмовном “рачуну“, па тек посебним дефиницијама претворен у математички број.

На пример, само један се прво схвата  по појму  онтолошки, логички и граматички, па тек на крају као јединица и операције рачуна кроз остале бројеве.

На пример, када кажемо 2+2=4, ми, пре свега,  по старијој синтетичкој, квалитативној основи самог појма закључујемо прво да је само 4 састављено од 4 јединице, или од две двојке.

Свакако да није довољно рећи да је довољно знати шта је 1, јединица да би се знало шта је 4, већ на крају и само 4. Поред тога треба знати и шта је сама релација сабирања, додавања, састављања, сједињавања, спајања. Као и саме релације мање и веће, једнако, неједнако. Чак и старији појмови – другог, различитог.

За Питагорејце , није довољно рећи да је 4 само четири једиице или две двојке.  Сваки, барем основни  број, има и неко своје посебно биће. Зато су прогласили хармоније и бројеве (пре рачуна, операција) за сама по себи супстанцијална  бића, од којих су све остале ствари, бића.

Додуше, са неке стране се чак и хармоније (склад, јединство свих разлика, супротности између бројева и геометријских облика, фигура) могу посматрати кроз праоснову рачуна, операција.

Ипак, ми никако не можемо свести сам рачун,  операције на било који број, а још мање на неку конкретну ствар.

На пример, у Кантовим праосновним логичким категоријама квантитета, изведених из најосновнијих врста судова, нема ни најосновнијих појмова мањег и већег, нити једног, једнаког, истог и другог, другачијег, различитог. А ти најосновнији појмови су, поред одредбе следа из синтетичке праоснове чистог опажаја времена  и те како нужни, како за сам рачун, операције тако и за саме бројеве.

Осим тога, када по геометријској основи кажемо да је нешто дугачко толико и толико, ми претходно дефинишемо метар (уопште, мерну јединицу било које величине), по некој реалној основи.

Ту се враћамо питање: да ли је логички старије једно, једнако, исто или другачије, друго, различито? И да ли ми можемо сабирати и различите ствари, или само исте и сличне, пре тогаодређене по неком  ширем појму.

Када питамо: колико има у воћњаку родних дрвета, ми помоћу унапред дефинисаног појма, скупа родних дрвета, сабирамо и јабуке, крушке, брескве…

88Већ је речено да то сабирање тражи старију једнакост по истини, унапред подразумева (дефиницију), логичко одређење по неком истом ширем појму (као овде родних дрвета) –  па је то, на крају, сабирање истих појмова.

Можда се тек по спољашњем опажају и категорији квантитета разликују мање и веће? Ипак, како се и по чистом, спољашњем опажају простора разликују мање и веће? Свакако да ни то разликовање мањег и већег у првенственом смислу није могуће по основи општих, посебних и појединачних судова по квантитету.

Очигледно да је и ту прво битна праоснова тачке–простора  или јединице и броја (најмањег–највећег) за било коју, какву квантитативну разлику већег, мањег. Сасвим је очигледно да је једно и друго, исто и различито (једнако, неједнако) и мање, веће (најмање–највеће), или било коју другу операцију у сабирању, одузимању, множењу, дељењу...

Опет са 3+2=5 ми сабирамо апстрактне појмове 3 и 2 и закључујемо да је то 5. Ту, свакако, претходно морамо дефинисати и саму јединицу, и скуп природних бројева; и све релације међу њима, рачунске операције. И то дефинисање праосновних аксиома математике (аритметике као и геометрије), или, уопште њихове могућности, је веома сложена ствар. За тако нешто је, по Канту, потребна сва логика (категорије) и све чисто опажање (трансценденталне одредбе чисте чулности, спољашњег просторног опажаја и унутрашњег, временског самоопажаја) Синтетичка основа рачуна у самосвести и чистом опажају времена да би смо знали да је 3+2=5.

Иначе, по којој основи (пита се Кант) знамо шта је само 2, 3 или само један или једнако? Морамо имати неку синтетичку основу да знамо једно и друго и треће. Поред тога, и шта је само + и само = да бисмо на крају знали да је 3+2=5?

По њему, тек се из синтетичке праоснове самосвести, једног идентичног Ја=Ја зна за закон идентитета А=А, или 1=1, уопште саму једнакост или најпростији идентитет сваког  појма са самим собом.

Затим, синтетичком основом самоидентитета самосвести (Ја=Ја) у спонтаном дејству по свакој посебној категорији на чисте опажаје простора и времена по истоветности, истини, истом плодно јединство за све судове знања.

Па онда међусобном самерљивошћу појмова, као у претходном случају, од појма један и бројања или броја и категорија квантитета и релације ми аналитичком методом схватамо да су у броју 5 садржани 3 и 2, или синтетичком методом ( из праопажаја времена и трансценденталне одредбе следа) да је  2+ 3= 5.

Дакле, По Канту је за сам рачун пре свега битан праосновни идентитет праосновног Ја=Ја; једне чисте, исте свести утемељене у самосвести. Одатле прво добија потврду сам закон идентитета, па са њим, у праоснови сваког суда, и релација једнакости најстаријом везом је, јесте. Или једнако, исто за идентитет јединица у природном скупу бројева или истину било којег математичког суда. Само сабирање, могуће је по априорној вези, споју трансценденталне аперцепције; праосновном синтетичком јединству самосвести (Ја=Ја), као чистој везивости, синтези, спојивости и  трансцендентална одредба следа из чистог унутрашњег опжаја времена.

Тај чист опажај унутрашњег (неограничене елементарне представе времена), и његова трансцендентална одредба следовања, следа, даје, по Канту, синтетичку праопажајну основу за низ природних бројева, бројање идентичних  јединица. А све даље операције: неједнаког, одузимања, множења, дељења, изводе се помоћу праосновне једнакости – чисте спојивости, везивости, сабирања и категорије кавантитета. Саму бесконачност у геметрији и аритметици,  Кант објашњава из праоснове бесконачних елементарних а приори представа простора и времена. 

 

Свакако да бесконачни опажај не постоји, да је то као округли квадрат. Да се негативни појам бесконачног, бескрајног, неограниченог, безмерја, насупрот коначног, краја, границе, мере... не могу изводита ни из спољашњег априорног опажаја простора  ни унутрашњег  априорног опажаја времена, а још мање апстраховати разумом из конкретних опажаја, већ се изводе тек закључивањем из ума.

Ни старије категорије другог,  различитог, супротног  или мањег и већег, које се нужно и у аритметици и у геомертрији не могу се извести из категорија квантитета.

Заправо,  квантитет, количина, величина се са становишта чисто формалне логике не посматрају суштински. Оне се морају схватити по у конкретном јединству појма и конкретних опажаја –  емпиријски.

На пример, тек се из поларитета, супротности  живе непросторне тачке свести  и простора геометријски схвата било која геометеријска величина. И обрнуто, тачка премапростору.

Или јединице према операцијама, свим могућим могућностима рачуна према бесконачном, или слово, реч (праименовање, име) према  говору, реченици, целини језика, слике, облика према виђењу, или звука према чујењу…

Да ли је онда то спољашње опажање простора из тачке и обрнуто суштинско за праоснову мањег, већег, нужно чак и за аритметику, сам рачун – мањи, већи број, праоснову јединицие према рачуну, операцијама према сваком коначном и бесконачном; подједнако битно као и чиста одредба следовања из унутрашњег самоопажаја времена за само бројање, низ природних бројева?

Сасвим је очигледно да се подједнако мора претпоставити жива тачка за праопажај простора, као што се, по Канту, мора претпоставити чист опажај простора за све могуће облике, фигуре. Слободно се може рећи да ми тек из живе непросторне тачке свести имамо опажај простора. Да ли је због тога та  жива тачка, која има спољашњи, опажај простора, старија (најстарија)!?

Тек се кроз ту живу тачку опажа простор, или живи рачун (јединицу са свим операцијама), или живи говор (име, реч са свом граматиком, целином језика), сагледава стварно јединство мишљења и просторности, бића.

Да ли то значи да ми тек из тих праосновних поларитета разликујемо какве квантитативне разлике? На пример, мање и веће разликујемо по праоснови живе тачке (најмањег) и простора (највећег).

Да би се, уопште,  могло знати, увидети без  те праоснове мањег, већег (најмањег, највећег) – или о једнаком и неједнаком, да је 5 веће од 3,  или на крају закључити да је 3+2=5?  И да је тако  спољашње опажање, барем у погледу  најмањих, простих бројева, битније за рачун, него унутрашње, које би одредбом следа било суштинско за само бројање, низ природних бројева у његовом расту ка бесконачним бројевима.

На пример, ми спољашњим опажајем увиђамо пет ствари у једном низу, видимо, такорећи, без бројања, директно; без икаквог  сабирања да је у њему садржано 3 и 2. Ипак, то директно увиђање, виђење без сабирања има неку границу. Није могуће чак ни у граници декаде изведене по основи десет прстију.

То јест, када су велики бројеви у питању, нама то спољашње опажање не може много помоћи; него се ту мора узети праоснова једног система простих бројева (на пример декадног) која се користи за сваки даљи већи број бројањем или рачунањем. Тако што се из синтетичке основе декаде, првих девет простих, једноцифрених бројева у комбинацији са нулом рачуна, по аналогији, са свим  даљим, већим, двоцифреним, троцифреним… бројевима.

Опет, ми се можемо питати: да ли нам старија (небројна, нерачунска) самоочигледност почетног један, два, три, четири – и за чије уочавање нам нису потребни ни увођење бројања ни операције, по старијој логичко-граматичкој основи  омогућава бројеве, бројање и сам рачун, операција (што мисле скоро сви филозофи), или је обрнуто; старија праоснова рачуна, операција, бројања, броја самог по себи омогућава чак и те праосновне увиде, не само у један, два, три, четири, него и у  било које друге ствари, појмове (као што мисле Питагорејци)?

Када се посматра број један, он стоји простом супротношћу наспрам ограниченог или неограниченог (мноштва). Ограничено мноштво је број, а неограничено мноштво може бити хипотетички једино бесконачно или сам рачун. У крајњем случају, много пре се може изједначити (живи) рачун на делу са бесконачним, него унапред противуречан бесконачан број.

Иначе, како би могле постојати те свемогућности рачуна на делу у сваком најмањем као и у највећем неживом, живом обличју, ако та свемогућност рачуна, његова пуна слобода не би била суштински изједначена са најстаријом логичко-онтолошком квалитативном бесконачношћу (безмерјем) духа,  истине, појма, идеје... Као, уосталом, и сама логика на делу у бесконачно различитим облицима сваке ствари, бића, појаве.

Када се, пак, посматра два, оно се може узети на више начина.

Као први, прости број, дефинисан као ограничено мноштво. Као праоснова поларитета, супротних ствари, појмова, квалитета. Праоснова деобе, поделе целог на два дела. Расте клроз рачве, умножава, се множи. Праначечепо сваке једне ствари која има своје полове, супротности; између којих опет, праосновом тих крајњих разлика може постојати неограничено мноштво прелаза. И где се увек може тражити неко између стање, или коначно јединство те две супротне крајности у трећој “ствари” (међу)квалитету. Закључити да се свако два по јединству појма може свести на неко један, као што може у себи укључити измећу својих крајности прво следеће ограничено мноштво (три), или неограничено мноштво са безброј прелаза измећу обе крајности.

Ипак, иако се и два може бројати, оно се скоро никад не броји, него се сагледава као самоочигледно двојство, поларитет, тројство (троугао), четворство (четвороугао). За пет већ морамо рачунати,  бројати.

Такође, ако сваки појам може имати своју супротност, као што се у свакој супротности може тражити неко јединство, онда је ту некако и два укључено у један као и један у два. Ограничено или неограничено мноштво наспрам јединице, једног, или било које једно кроз обе крајности, супротности дато кроз два.

Један често код старих филозофа изражава квалитет тачке, два квалитет праве, или ограничене дужи (два краја). Може изразити квантитет једног квалитета са неком почетном тачком, на једну и другу страну; њеним повећавањем или смањивањем.

Три се може посматрати по квалитету простора (три димензије) или троугла као  једног коначно изабраног целовитог стања (јединства) између два супротна квалитета. Квантитет или квалитет између два поларитета који се може описати у равни, или у првој затвореној површини – троуглу, односом, или јединством два различита, или супротна квалитета у неком коначном стању. Као степен једног квалитета који може бити већи и мањи; и степен другог квалитета који може бити већи и мањи, дат њиховим тренутним односом.

И ако једна страна  троугла представља крајности једног квалитета, a друга другу крајност, оне друге две стране (које се састављају у трећем врху), представљају треће стање дато у њиховом односу; конкретно јединство кроз неки трећи квалитет између две стране. Тако је првом затвореном површином (три) већ дат круг, кружност са свим могућим прелазима различитих стања неког квалитета. Суштински постављено у кружност, а два остаје једно наспрам другог.Ипак, неки квалитети имају слободан “пут“ ка обе, а не само ка једној страни производе неко  јединство. 

Ми можемо проблем посматрати са почетног видљивог, очигледног десет, где за само сабирање, одузимање није потребан посредан рачун, него се, као на простој рачунаљци, може закључити о свим комбинацијама простог рачуна од један до десет по непосредном опажају. Сви прости бројеви ту су видљиви; ми видимо да је у пет три и два, у четири два и два, у десет седам и три, осам и два. Већ је у четири, тетрактису дато десет.

Два кроз две супротности и прелазе између њих су четири; као четири угла, четири стране света или основне разлике: напред–назад, десно–лево, горe–доле или ван–унутра. По праоснови та четири поларитета добија се осам,  као основа свих страна у покретању, окретању точка.

У праочигледности прва четири броја, четворста код Питагорејаца у синтези декадe је праоснова свих квалитета.

Или у праоснови пентаде, пет, као првог мноштва (из основе једне руке), које се мора бројати.

Да ли се може основа питања уопште, праоснова свих квантитета, количина, величина, као и штаства, квалитета, тражити кроз праосновни квалитет четвороструког, четворства? Такође, суштина проблематичног односа квадрата и круга кроз површину или дужину за све многоуглове у показује се кроз четворство, четири.

У односу површине, дужине квадрата (многоугла са четири једнаке стране) и исто толике дужине, површине једне кружнице, круга (хипотетичком многоугла са бесконачним бројем страна).

Уопште, тражи се већином, осматра, испитује по основи круга, кружности, или лопте  једне са свих страна исте истине кроз четири – стране, правца, елемента, положаја, угла: кроз горе–доле, напред–назад, десно–лево, ван–унутра. По количини из првог мноштва који се мора бројати, пентаде.

Сва питања: зашто, како, због  чега, који, које, која; само шта, зашто и праоснова било којег штаства, каквоће – своде се  по пентади на колико, или по тетради, прва четири броја, тетрактису, четворству на како. А то испитивање по четворству на основне поларитете, своди даље тетраду на диаду, а диаду на монаду, једно, најстарију целину, јединство.

Опет, бројеви природног низа су раздвојени међусобно (дисконтинуитет); тек  их ми састављамо из себе сабирањем.  Такође, ми ни само сабирање, све операције, релације не можемо објашњавати спољашњошћу. Кант, чак и најстарије синтетичко Ја мислим проглашава за  априорну везивост, везу, синтезу, спој; за прву праоснову унутрашњости. По основу свог трансцендентализма, позиционизма категорије релације посматра суштински, узима за праоснову квалитета сваког појма суда, закључка а не само по спољашњем, оперативном смислу – квантитативно.

Просто бројање објашњава са априорном одредбом следа из чистог опажања унутрашњег чула – времена а свако сабирање, састављање, спајање из синтетичке праоснове  априорне синтезе, везе, споја – трансценденталне аперцепције.

Ако из декадног система увиђамо непосредно све просте бројеве, или сав рачун, односе међу њима. Ипак, одакле увиђамо тај декадни систем? Такође, постоје и други бројни системи. Опет, ако се прости бројеви схватају из декаде, одакле се схвата сама декада? Да је најстарија синтетичко–аналитичка основа свог рачуна дата кроз један и јединицу и десет?  Ако се из из десет, као синтетичке основе рачунa, по праосновном јединству мноштва закључује о девет, осам… о свим другим простим бројевима, рачуну међу њима, да ли исто тако са друге стране може рећи да тек из један и операција закључујемо о броју десет, или било којем другом броју? Заправо, сваког је, да, јесте претпоставља неко старије је-да-н (један), па се и синтетичка основа оног десет.

Поред тога, старија  јединица и операције рачуна, или категорије мање и веће, истог и различитог (супротног), стоје опет испред сваког броја па и броја десет.

Изгледа да је синтетичка основа више дата у једном и десет, а аналитичка у јединици. У једном случају, ако се иде од већег броја, почетне декаде ка сваком мањем броју, из синтетичке основе (шта се све садржи у броју десет, или појму десет), се закључује  о сваком мањем или већем броју.

У другом случају се по аналитичкој основи једног и јединице и синтетичкој основи рачуна (бесконачних комбинација), свих могућих операција, закључује о сваком другом рачуну, броју. Ипак, ни за аналитичку основу није довољно један него је потребно и два; за деобу, све поларитете.

У сваком случају, операције се тешко могу схватити по себи. Као што је и за сваки, чак најједноставнији суд нужно потребно претпоставити целу логику и за њену синтетичку праоснову чисту вољу–свест, слободну свест о себи, самосвест, трансценденталну аперцепцију, тако је и за најједноставније сабирање, одузимање, множење, дељење, нужно претпоставити синтетичку основу целог рачуна, који носи у себи све бројеве, операције, слободу сваке математичке функције.

Заправо, принцип квалитативне, синтетичке логике је заснован на старијој, логичко-граматичкој основи говора, мишљења, појма. Слободној, живој сведимензионалној основи живог говора, рачуна.

Ми кажемо, на пример, дрво. Из синтетичке основе тог појма можемо себи представити корен, стабло, гране, листове, и даље, по синтетичкој основи  тих појмова (корена, стабла, грана, листова) и њихове посебне садржаје. Свака реч, појам у свом односу са другим речима има у свом садржају, логичком опису, везу са другим речима, појмовима. Она чак нема у себи само логички, појмовни опис, него и у самом том логичком опису кроз све искуство садржи, носи у себи сав могући чулни опис.

На пример, из речи дрво се може имати представом тог појма замишљањем, сећањем, представљањем сви његови чулни садржаји. Или разликовати родна и неродна, листопадна и зимзелена дрвета, па међу њима и сва могућа дрвета.

Синтетичка основа речи, појма у говору садржи истовремено искуство свог мишљења, осећања, различитих  осета, опажаја свих чула. У квалитативном принципу речи, говора, појма  је по принципу квалитативне логике садржана и сва логика и сва чулност, све  форме и сви садржаји.

И бројеви су једна врста језика, могу се посматрати као односи појмова, као релације између неких квалитета; као посебан квалитет саме количине, величине, за самерљивост по појму “истих” ствари, бића, или посебно дефинисаних, замишљених појмова – бројева.

Појмови, речи имају сведимензионалне, свевалентне везе међу собом,  прожимају се, улазе једна у другу по безброј односа. “Рачун“ међу њима је синтетички, а у крајњем случају може бити и аналитички.

 

---

[1] Ово је истоимени одељак из књиге: Томислав Новаковић, Чисто Ја и Атомика Кантове Критике чистог ума, Начела практичне логике, DESIRE, 2013,  од 806-816.  стране. За више погледати сајт: www. filozof.rs